Cómo clasificar sistemas de ecuaciones lineales

Aprender a clasificar según el número de soluciones sistemas de ecuaciones lineales es algo fácil si se conocen bien las definiciones de ecuación y sistema lineal.

Los sistemas de ecuaciones son una de las partes más básicas del álgebra, una de las ramas más importantes de las matemáticas. Los sistemas son a menudo formas esquemáticas de representar un problema para resolverlo de forma sencilla y, dentro de sus posibilidades, los sistemas denominados lineales son los más fáciles de resolver.

Qué es una ecuación lineal y un sistema lineal
Una ecuación lineal es una expresión de la forma a_1*x_1 + a_2*x_2 + · · · + a_n*x_n = b, donde los términos en "a" (coeficientes) son números que ya se conocen y los "x" son incógnitas. A "b" (que también es un número conocido) se le denomina término independiente. Una solución de esta ecuación es una serie de términos (c1, c2... cn) que si se sustituyen por las incógnitas verifican la igualdad.

Un sistema lineal está formado por una serie de m ecuaciones lineales y n incógnitas establecidas de la siguiente forma:

a_11*x_1 + a_12*x_2 + . . . + a_1n*x_n = b_1
a_21*x_1 + a_22*x_2 + . . . + a_2n*x_n = b_2
...
a_m1*x_1 + a_m2*x_2 + . . . + a_mn*x_n = b_m,

Una solución de este sistema es un conjunto de números c1, c2... cn que satisface todas y cada una de las ecuaciones que contiene.

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales
La clasificación más común de los sistemas de ecuaciones lineales se basa en el número de soluciones que presentan.

 

  • Si los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución única, es decir, existe un único conjunto de valores que para las incógnitas "x" satisfacen todas y cada una de las ecuaciones simultáneamente, se dice que son compatible determinado. Por ejemplo 2*x =1 tiene una sola solución, x = 1/2
  • Si los sistemas de ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones (existen infinitos conjuntos de términos que al sustituirlos por las incógnitas satisfacen todas las ecuaciones) se dice que los sistemas son compatibles indeterminados. Por ejemplo, el sistema formado por le ecuación única x1 +x2 =2 tiene infinitas soluciones del tipo x1=k y x2 = 2- k donde k puede ser cualquier número.
  • Por último, si el sistema de ecuaciones lineales no admite ninguna solución (no existe ningún conjunto de términos que satisfagan todas las ecuaciones a la vez) se dice que el sistema es incompatible. Un ejemplo sencillo sería el sistema compuesto por las ecuaciones 2*x1= 2 y 3*x1=6. Si despejamos la primera ecuación x1 = 1 pero al sustituir esta solución en la segunda ecuación tenemos que 3*1 = 6, lo que es imposible.